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1463번 1로 만들기

문제 해석

문제는 너무 간단 합니다. 세가지 규칙이 있는데요.

1. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
2. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
3. 1을 뺀다.

이렇게 만들어서 1로 만들어라 이겁니다. 12를 최소로 위 규칙을 사용하면 어떤 과정을 거칠 수 있을까요?

12 - 4(1번 규칙 적용) - 2(2번 규칙 적용) - 1(2번 또는 3번 규칙 적용)

이렇게 3번으로 1을 만들 수 있다는 건데요. 

36은 어떻게 구할 수 있을까요?

36 - 12(1번 규칙 적용)

12는 위에서 구했습니다. 감이 오시죠? DP냄새가 나지 않습니까?

#include <cstdio>
#include <string.h>

#define min(x,y) x<=y ? x:y
#define INF 987654321
using namespace std;

int dp[1000001];

int solve(int n) {

	if (n == 1) return 0;
	if (dp[n] != -1) return dp[n];

	int ret = INF;
	if (n % 2 == 0) ret = 1 + solve(n / 2);
	if (n % 3 == 0) ret = min(ret, 1 + solve(n / 3));
        //ret = min(ret, 1+solve(n-1));
	if (n % 6 != 0) 
		ret = min(ret, 1 + solve(n - 1));

	return dp[n] = ret;
}

int main() {

	int n;
	scanf("%d", &n);

	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	printf("%d\n", solve(n));
}

n을 규칙대로 3으로 나누어 떨어지면 3으로 나누고, 2로 나누어 떨어지면 2로 나누고, 또는 1을 뺀 규칙을 적용해서 1로 만들어보는 것입니다. 3으로 나누어 떨어지지 않거나, 2로 나누어 떨어지지 않을 땐 1을 빼는 규칙을 적용해줍니다.

왜요?

n을 1로 만들어주는데 있어서 2와 3으로 나누는 것이 유리하다는 것이죠. 어떤 수로 나누는 것이 n을 줄이는 일에 효과적이라는 겁니다. 그래서 1을 최소로 빼주고 될 수 있으면 2와 3으로 나누는 편이 더 좋습니다.  그러니 2와 3의 최소 공배수 6을 이용해서 6으로 나누어 떨어지지 않으면 1을 빼는 것을 시도하는 것입니다.

위 코드의 주석을 해제하고 if문 부분을 주석처리하여 제출해보세요. 결과는 맞지만 효율성에서 차이가 나는게 보일겁니다.

동적계획법(Dynamic Programming)

동적계획법(Dynamic Programming)이라는 것은 알고리즘에서 아주 자주 등장하는 주제입니다. 줄여서 DP라고도 부릅니다.

DP의 특징은 어떤 부분 문제는 두 개 이상의 문제를 푸는 데 사용될 수 있습니다. 그래서 "답을 여러 번 계산하는 대신 한번 만 계산한다!" 입니다.  

개인적으로 DP를 보면 항상 먼저 떠오르는게 바로 재활용이라고 생각합니다. 재활용을 통해서 속도를 빠르게 향상 시킬 수 있는 방법입니다.

어떻게 재활용을 할 수 있을까요? 가장 유명한 피보나치 수열을 한 번 보도록 해봅시다. 피보나치의 정의는 아래와 같습니다. 간단합니다.

이 피보나치 수열을 재귀함수로 정의해보겠습니다. 

int fibo(int n) {
	if (n == 0) return 0;
	if (n == 1) return 1;
	return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
}

이런식으로 정의가 될 것 같네요. 여기서 n은 무조건 양수라고 가정하겠습니다. 음수는 귀찮습니다. 만약 fibo(5)라는 값을 계산하려면 어떤 과정을 거칠까요?

fibo(5) = fibo(4) + fibo(3) 라는 것을 알 수 있고 이제 fibo(4)와 fibo(3)을 더해주기만 하면 됩니다.

그럼 왼쪽 fibo(4)부터 차근 차근히 계산을 해보도록 하겠습니다. 노가다로 해보겠습니다.

fibo(4) = fibo(3) + fibo(2) 

이것도 역시 fibo(3), fibo(2)를 계산해야 되겠군요

fibo(3) = fibo(2) + fibo(1) 이 되겠습니다.

fibo(2) = fibo(1) + fibo(0) 이 되어서 fibo(2) = 1이라는 것을 알게 됩니다.

그렇다면 fibo(3) = fibo(2) + fibo(1) 이니까 1+1 해서 fibo(3) = 2라는 것을 알 수 있겠네요.

fibo(4) = fibo(3) + fibo(2) 랍니다. 여러 분, 이제 슬슬 감이 오고 있나요? 노가다 하기 싫습니다.

fibo(4) = 2 + fibo(2)라는 것이 됩니다. fibo(3)을 방금전에 계산했거든요. 그러면 오른쪽 fibo(2)를 구해보도록 합시다.

fibo(2) = fibo(1) + fibo(0) 으로 fibo(2)=1입니다.

그럼 fibo(4) = 2+ 1 = 3 이라는 결과가 나옵니다. 이제 fibo(4) 구한 겁니다.

이제 fibo(3)을 구해볼까요?

이제 손가락이 아파서 못할 거 같고요

fibo(3) 뭐라고 했지요? 아까 계산했는데 말입니다.

2가 나왔죠?

이 같은 노가다를 막기 위한 것이 바로 DP의 큰 역할이라고 할 수 있겠습니다. 만약 위의 저 코드를 통해서 fibo(40)을 계산한다면 얼마나 걸릴까요? 아마 계산했던 결과를 또 계산하고 앉아있으니 오래 걸릴거라는 걸 짐작할 수 있나요?

네, 오래 걸립니다. 우리는 이제 계산된 값을 재활용 합시다. 이렇게요.

int dp[50];
int fibo(int n) {
	
	if (n == 0) return 0;
	if (n == 1) return 1;
	if (dp[n] != -1) return dp[n];
	return dp[n] = (fibo(n - 1) + fibo(n - 2));
}
int main() {
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	printf("fibo(40)=%d\n", fibo(40));
}

어떻습니까? 맨 처음 초기화값은 -1입니다. memset함수에 주목합시다. 이 함수는 dp라는 배열을 -1이라는 값으로 전부 초기화 시키는 역할을 하는 것이랍니다. 처음 계산하는 값이라면 dp[n]에 -1이라는 값이 들어있을 겁니다. 그렇지 않을까요? 이해 되십니까?